数理化生公式库

一元二次方程求根代数

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

解一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0），判别式 Δ = b² − 4ac

二次项系数 a一次项系数 b常数项 c

等差数列通项公式代数

a_n = a_1 + (n-1)d

等差数列第 n 项，公差为 d

第 n 项 aₙ首项 a₁项数 n（项）公差 d

等差数列前 n 项和代数

S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}

等差数列前 n 项和

前 n 项和 Sₙ项数 n（项）首项 a₁第 n 项 aₙ

等比数列通项公式代数

a_n = a_1 \cdot q^{n-1}

等比数列第 n 项，公比为 q（q ≠ 0）

第 n 项 aₙ首项 a₁公比 q项数 n（项）

等比数列前 n 项和代数

S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} \quad (q \neq 1)

等比数列前 n 项和，q = 1 时 Sₙ = n·a₁

前 n 项和 Sₙ首项 a₁公比 q项数 n（项）

对数换底公式代数

\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}

任意底对数换算为自然对数计算

logₐb 的值底数 a真数 b

勾股定理几何

c^2 = a^2 + b^2

直角三角形两直角边 a、b 与斜边 c 的关系

直角边 a直角边 b斜边 c

圆的面积几何

S = \pi r^2

半径为 r 的圆面积

面积 S半径 r

圆的周长几何

C = 2\pi r

半径为 r 的圆周长

周长 C半径 r

扇形面积（弧度制）几何

S = \frac{1}{2} r^2 \theta

半径 r、圆心角 θ（弧度）的扇形面积

扇形面积 S半径 r圆心角 θ（rad）

弧长（弧度制）几何

l = r\theta

半径 r、圆心角 θ（弧度）所对的弧长

弧长 l半径 r圆心角 θ（rad）

海伦公式（三角形面积）几何

S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \; p = \frac{a+b+c}{2}

已知三边长求三角形面积

边 a边 b边 c

正弦定理三角

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}

已知对边与对角三要素中的三个，求第四个（角度为度）

边 a角 A（°）边 b角 B（°）

余弦定理三角

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

已知两边及夹角求第三边，或已知三边求角（角度为度）

边 a边 b边 c夹角 C（°）

两点间距离几何

d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}

平面直角坐标系中两点的距离

x₁y₁x₂y₂

韦达定理代数

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}

一元二次方程 ax² + bx + c = 0 两根与系数的关系（Δ ≥ 0）

二次项系数 a一次项系数 b常数项 c

二次函数顶点坐标代数

y = ax^2+bx+c \;\Rightarrow\; 顶点 \left(-\tfrac{b}{2a},\; \tfrac{4ac-b^2}{4a}\right)

抛物线 y = ax² + bx + c 的顶点与开口方向

二次项系数 a一次项系数 b常数项 c

复利 / 指数增长代数

A = P(1+r)^t

本金 P 按增长率 r（如 5% 填 0.05）增长 t 期后的总量

期末总量 A本金 P增长率 r期数 t

排列数统计与概率

A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}

从 n 个不同元素中取出 k 个的排列数（有序）

元素总数 n（个）取出个数 k（个）

组合数统计与概率

C_n^k = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}

从 n 个不同元素中取出 k 个的组合数（无序）

元素总数 n（个）取出个数 k（个）

三角形面积（底×高）几何

S = \frac{1}{2}ah

底 a、这条底上的高 h

面积 S底 a高 h

平行四边形面积几何

S = ah

底 a、这条底上的高 h

面积 S底 a高 h

梯形面积几何

S = \frac{(a+b)h}{2}

上底 a、下底 b、高 h

面积 S上底 a下底 b高 h

圆柱体积立体几何

V = \pi r^2 h

底面半径 r、高 h 的圆柱

体积 V底面半径 r高 h

圆锥体积立体几何

V = \frac{1}{3}\pi r^2 h

底面半径 r、高 h 的圆锥

体积 V底面半径 r高 h

球的体积立体几何

V = \frac{4}{3}\pi r^3

半径 r 的球

体积 V半径 r

球的表面积立体几何

S = 4\pi r^2

半径 r 的球

表面积 S半径 r

同角三角函数基本关系三角

\sin^2 A + \cos^2 A = 1

已知一个三角函数值求其余（给 sinA 求所有可能值）

sin A

平均数统计与概率

\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i

算术平均数

一组数据

方差与标准差统计与概率

s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2, \quad s = \sqrt{s^2}

描述数据波动程度

一组数据

数理化生公式库：常用公式速查，选中公式代入变量自动求解结果，作业验算与考试复习的两用工具。

适用场景

复习时按主题过公式，代入数字验算理解
作业里快速核对某条公式的计算结果
记不清公式形式时按名称/主题检索

常见问题

自动求解的结果能直接抄吗？

能验算，建议当"第二步"用：自己先列式，再用工具核对数值。理解公式适用条件（单位制、定义域）比算出数字更重要。

单位不一致会算错吗？

会。代入前把单位统一到公式要求的单位制（如 SI 制），速度用 m/s、质量用 kg。单位换算错误是数值不对的第一大原因。

适用场景

常见问题

自动求解的结果能直接抄吗？

单位不一致会算错吗？

相关工具